En el análisis dinámico de estructuras, ya sean bancadas de máquinas, puentes peatonales o forjados de edificios, las ingenierías se enfrentan a un problema de espectro, donde la fuerza o fuerzas aplicadas no actúan en una sola frecuencia. Las fuerzas reales esconden componentes energéticos en frecuencias secundarias que, aunque de menor valor, pueden ser devastadoras si entran en resonancia.
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento estructural se resuelven con términos armónicos simples. Aquí es donde las Series de Fourier se convierten en la herramienta esencial del cálculo dinámico.
Cualquier función periódica, por compleja o irregular que sea su forma, puede representarse como la suma infinita de funciones senoidales simples (armónicos) cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
El Origen Geométrico de los Armónicos
Siempre me a costado materializar la idea que se desprende del análisis de las ecuaciones del movimiento circular.
Vamos a tratar de explicarlo del mismo modo que me ayudó a entenderlo en su momento sin que el chorizo este de formula nos impresione.
\( F(t) = P_0 + \sum_{n=1}^{\infty} P_n \sin(n\omega t + \phi_n) \)
\(F(t) = P_0 + P_1 \sin(\omega t) + P_2 \sin(2\omega t) + P_3 \sin(3\omega t) + \dots \)
Fourier, en este caso, solo se dedicaba a contar cuantas veces ocurre «algo por vuelta» y con qué amplitud. De la formula se desprende que:
- el termino \( P_0 \) que es constante, nos indica que hay una fuerza estática, es decir, si por ejemplo tenemos un motor pesado apoyado sobre una viga, la viga de inicio ya estará doblada por el peso de dicho motor,
- el segundo término te indica que hay una fuerza \( P_1 \) que se aplica una vez por vuelta \( (1·\omega) \),
- el tercer término, que la aplicación de la fuerza \( P_2 \) ocurre dos veces por vuelta \( (2·\omega) \) ,
- el cuarto, que la aplicación de \( P_3 \), ocurre tres veces por vuelta \( (3·\omega) \) , y así sucesivamente.
Si aislamos un solo algo por vuelta tenemos:
\( F_n(t) = P_n \sin(n \omega t) \)
- \( F(t) = Fuerza \ instantánea\ en\ Newtons \)
- \( P_n= Amplitud\ máxima\ del\ armónico\ en\ Newtons \)
- \( \omega= Frecuencia \ angular\ en\ radianes\ por\ segund \)
- \( n = nos\ da\ el\ número \ de\ veces\ que \ se \ produce \ la\ amplitud\ P_n \ en\ una\ vuelta \)
Para visualizar esto, evitando la abstracción matemática, pongamos unos ejemplos donde la fuerza se genera en función de la geometría, y analicemos cómo la «forma» de un objeto determina los términos de la Serie de Fourier.
Considerando que no hay fuerzas iniciales, \( P_0 = 0 \) la ecuación nos queda:
\(F(t) = P_1 \sin(\omega t) + P_2 \sin(2\omega t) + P_3 \sin(3\omega t) + \dots \)
Imaginemos un eje con levas de diferentes formas girando a una frecuencia angular
A) El Primer Término: Desequilibrio de Masa
Si tomamos un círculo excéntrico, la fuerza generada es una onda suave que completa un ciclo por cada revolución del eje.
- Serie de Fourier: El espectro solo contiene el término fundamental.
- Ecuación: \( F(t) = P_1 \sin(\omega t) \)
B) El Segundo Término: Simetría Bilateral (Elipse)
Si tomamos una elipse centrada, la geometría presenta dos lóbulos. En una revolución física, el perfil empuja dos veces. La simetría anula el término fundamental .Aunque el eje gire a velocidad w, la estructura recibe dos «golpes» o impulsos de fuerza por cada vuelta completa debido a la geometría elíptica
- Serie de Fourier: La energía se desplaza totalmente al segundo armónico.
- Ecuación: \( F(t) = P_2 \sin(2\omega t) \)
C) El Tercer Término: Simetría Trilobular (Triángulo)
Si tomamos un perfil triangular (tipo Wankel) centrado, tenemos tres eventos de carga por vuelta. La estructura soporta tres ciclos de carga y descarga por cada revolución. La energía se transfiere a una frecuencia triple.
- Serie de Fourier: Aparece el tercer armónico.
- Ecuación: \( F(t) = P_3 \sin(3\omega t) \)
Podríamos seguir aumentando el número de lóbulos de la leva y las ecuaciones seguirían conformándose del mismo modo.
Veamos ahora el caso de una leva algo más compleja.
D) Elipse excéntrica.
Aquí rige el Principio de Superposición. La función de fuerza resultante es la suma algebraica de las cinemáticas individuales:
El desplazamiento del centro de rotación genera una componente \( (1·\omega) \) . Los dos lóbulos del perfil (elipse) generan una componente \( (2·\omega) \)
\( F(t) = P_1 \sin(1\omega t) + P_2 \sin(2\omega t)\)
E) Triángulo excéntrico
Igual que en el caso anterior , tenemos el Principio de Superposición. La función de fuerza resultante es la suma algebraica de las cinemáticas individuales:
Se combina la geometría triangular con un error de posición del eje. Nuevamente, sumamos los efectos cinemáticos: el movimiento orbital del centro (orden 1) más la frecuencia de paso de los tres lóbulos (orden 3).
\( F(t) = P_1 \sin(1\omega t) + P_3 \sin(3\omega t)\)
En este ultimo caso no tenemos ningún evento que ocurra dos veces por vuelta.
El Caso General (Superposición)
En la realidad, si nos imaginamos que nuestra leva tiene forma de churro, Fourier nos dice que la función de fuerza total es simplemente la suma lineal de las formas presentes, y en función de como sea el churro y de donde tenga el eje de giro tendremos diferentes armónicos:
\( F(t) = \underbrace{A_1 \sin(\omega t)}_{\text{Posición (Excentricidad)}} + \underbrace{A_n \sin(n\omega t)}_{\text{Forma (Nº Lóbulos)}}\)
\(F(t) = P_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\omega t + \phi_n)\)
Aplicación a Estructuras: El Fenómeno de Resonancia
¿ Por qué es crítico descomponer la fuerza en esta serie ? Porque las estructuras son selectivas.
Una viga o un forjado tiene frecuencias naturales propias \( (\omega_n) \) . Si aplicamos una carga compleja (como la de un triángulo excéntrico), estamos lanzando varias frecuencias a la vez.
El fallo estructural por resonancia ocurre cuando cualquiera de los términos de la serie de Fourier coincide con algunas de las frecuencias naturales de la estructura con una fuerza determinada.
Hemos dicho que Fourier descompone la fuerza en varios «enemigos» \( (1\omega, 2\omega, 3\omega…) \). El problema es que la estructura tiene también múltiples «debilidades». Cualquier estructura real posee un espectro de frecuencias naturales (modos de vibración: flexión, torsión, modos locales). La condición de resonancia no es única; puede ocurrir en cualquier cruce,\( \{ \text{Frecuencia de Excitación } (n\cdot\omega) \} \approx \{ \text{Frecuencia Natural } (\omega_n) \} \) es decir, la estructura puede resistir perfectamente la frecuencia de mayor amplitud (mayor valor de fuerza), pero fallar catastróficamente porque su segundo modo de vibración coincide con el cuarto armónico de la fuerza, aunque esta fuerza sea relativamente pequeña. El diseño de vibraciones es, en esencia, el arte de evitar que estos dos espectros se toquen.
Fourier nos permite «desempaquetar» la fuerza para ver si alguno de sus componentes ocultos es peligroso.
De la Máquina al Humano: Cargas Dinámicas Peatonales
El mismo principio de Fourier que se aplica a una leva giratoria se aplica también a la acción humana sobre pasarelas, gradas o forjados ligeros.
Al caminar o saltar, una persona no genera una fuerza senoidal perfecta. El registro de fuerza de un paso es una curva compleja con un impacto inicial (talón), un empuje y un despegue (puntera). Es una función periódica no armónica, muy similar conceptualmente al caso de la «rueda con un plano» o la leva irregular. La carga para cada término será una fracción del peso de la persona
El Espectro de Fourier del Paso Humano
- P = Peso estático de la persona
- \(\alpha_n\)= porcentaje del peso de la persona. Determina la amplitud de la onda. En cada instante diferente, la fuerza será una fracción del peso de la persona (Coeficiente Dinámico de Carga)
Si una persona camina a una frecuencia de paso de 2 Hz (2 pasos por segundo), la Serie de Fourier de su carga dinámica nos revela que no solo está excitando la estructura a 2 Hz.
Debido a la forma de la curva de fuerza del paso (que no es un seno puro), la acción humana introduce energía en:
- Frecuencia Fundamental ( Hz): El ritmo del paso.
- 2º Armónico ( Hz): Debido a la asimetría de la pisada.
- 3º Armónico ( Hz): Componentes de alta frecuencia del impacto.
Esto explica por qué muchas pasarelas vibran aunque los peatones caminen «lento». Si una pasarela tiene una frecuencia natural de 4 Hz, y los peatones caminan a 2 Hz, la estructura entrará en resonancia. No por la frecuencia fundamental del paso, sino por el segundo armónico contenido en la serie de Fourier de la pisada humana.
Exactamente igual que ocurría con la elipse centrada: la frecuencia de excitación real es un múltiplo de la frecuencia de operación. Las matemáticas de la vibración son idénticas, ya sea causada por un rotor de acero o por un peatón caminando.